מחשבון אחוזים
אחוז ממספר, אחוז מתוך מספר ושינוי באחוזים נשמעים דומה, אבל כל אחד נפתר אחרת — ובשינוי, המספר שממנו מחשבים קובע את התשובה. לכל זוג מספרים מוצגים שלושת החישובים יחד, כל אחד עם הדרך.
- מ-25 ל-200+700%
- בחזרה ל-25-87.5%
שני האחוזים נמדדים מבסיס אחר, ולכן הם לא שווים: הראשון מחושב מ-25 והשני מ-200. לכן עלייה של 700% נמחקת על ידי ירידה קטנה יותר — 87.5%. הכלל מדויק: עלייה של r נמחקת בירידה של r חלקי (1+r). הכפלה, כלומר עלייה של 100%, נמחקת בירידה של 50% בלבד. ושימו לב: שינוי של 700% אי אפשר להפוך בירידה באותו אחוז — ירידה של 100% כבר מאפסת את הערך.
נכון לכל שני מספרים חיוביים. בבסיס שלילי או אפס שינוי באחוזים אינו מייצג, ולכן לא מוצג כאן חישוב.
איך חישבנו את זה?
- כמה זה 25% מתוך 200? מכפילים ומחלקים ב-100(200 × 25) ÷ 10050
- איזה אחוז 25 מהווה מתוך 200? מחלקים ומכפילים ב-100(25 ÷ 200) × 10012.5%
- שינוי באחוזים מ-25 ל-200((200 − 25) ÷ 25) × 100700%
איך מחשבים אחוז ממספר, ואחוז מתוך מספר?
כדי לחשב אחוז ממספר מכפילים את המספר באחוז ומחלקים ב-100: 20% מ-150 הם 30. כדי לדעת כמה אחוז מספר אחד מתוך אחר מחלקים את החלק בשלם ומכפילים ב-100: 63 מתוך 84 הם 75%. שינוי באחוזים הוא ההפרש בין הערך החדש לישן, מחולק בישן וכפול 100 — ולכן הבסיס קובע: מ-120 ל-150 זו עלייה של 25%, אבל מ-150 ל-120 זו ירידה של 20%, כי אותו הפרש (30) מחולק פעם ב-120 ופעם ב-150.
שלוש שאלות, שלוש נוסחאות
| ירידה | עלייה נדרשת לחזרה למחיר המקורי |
|---|---|
| 10% | 11.1% |
| 20% | 25% |
| 25% | 33.3% |
| 30% | 42.9% |
| 40% | 66.7% |
| 50% | 100% |
| 60% | 150% |
| 75% | 300% |
| 90% | 900% |
הנוסחה: עלייה באחוזים = x ÷ (100 − x) × 100.
המשכורת עלתה מ-6,200 ל-6,700 ₪ — כמה זה באחוזים?
A=6,200 הוא הישן ו-B=6,700 הוא החדש. השורה השלישית: ((6,700 − 6,200) ÷ 6,200) × 100 = עלייה של 8.06%.
ואם הבסיס הוא אפס, או מספר שלילי?
- התוצאות מעוגלות לשתי ספרות אחרי הנקודה, אבל החישוב עצמו רץ בדיוק מלא. לכן בשברים חוזרים כמו 1 מתוך 3 המספר שמוצג (33.33%) קטן במקצת מהערך האמיתי.
- שינוי באחוזים נמדד תמיד ביחס למספר הראשון (A), שהוא הבסיס, ולכן החלפת הסדר בין A ל-B תיתן אחוז אחר לגמרי — וזה נכון, לא תקלה.
- כשהבסיס הוא 0 שורת השינוי לא מוצגת: אי אפשר לחלק באפס, וכל עלייה מאפס היא אינסופית באחוזים. במצב כזה מדווחים על ההפרש עצמו ולא על אחוז.
- כשהבסיס שלילי הסימן מתהפך והתוצאה מטעה, ולכן המחשבון מסמן זאת במפורש. על ערכים שליליים — הפסד, יתרת חובה, גירעון — עדיף להשוות בערכים מוחלטים ולא באחוזים.
- השורה "A מתוך B" מחלקת בסדר שהוזן, בלי לבדוק מי הגדול מביניהם. אם A גדול מ-B התוצאה תעלה על 100%, וזה תקין.
אחוז או נקודת אחוז — ההבדל שמשנה את המשמעות
אם הריבית הייתה 4% ועלתה ל-6%, היא עלתה ב-2 נקודות אחוז — וב-50 אחוז. שתי האמירות נכונות ומתארות בדיוק את אותו מספר. הכלל: כשהערך עצמו כבר מנוסח באחוזים, ההפרש בין שני האחוזים נמדד בנקודות אחוז, וההשוואה היחסית ביניהם נמדדת באחוזים. זו אינה קפדנות לשונית — על אותה יתרת הלוואה, ריבית שעלתה מ-4% ל-6% מגדילה את מה שאתם משלמים בחצי.
עלייה של 50% וירידה של 50% לא מחזירות אתכם להתחלה
100 שקל שעלו ב-50% הם 150, וירידה של 50% מהם מביאה ל-75 — לא ל-100, כי העלייה חושבה על 100 והירידה על 150. בשרשרת שינויים הדרך הבטוחה היא לזנוח אחוזים ולעבוד עם מכפילים: 1.5 כפול 0.5 שווה 0.75.
אחוז הפוך — מחלקים, לא מחסירים
מוצר התייקר ב-10% והיום הוא 220 שקל. האינטואיציה אומרת להוריד 10% מ-220 ולקבל 198, וזה שגוי — ה-10% נוספו למחיר הישן. הפעולה הנכונה היא 220 חלקי 1.10, כלומר 200. אותו דבר בהנחה: 175 שקל אחרי 30% הנחה הם 175 חלקי 0.70, כלומר 250. זה בדיוק המנגנון של מע"מ הפוך — ומכאן שהמע"מ הוא 18% מהמחיר לפני המס, אבל רק 15.25% מהסכום שאתם מוסרים בקופה.
אחוזון הוא לא אחוז
אחוזון 75 בעקומת גדילה של תינוק או במבחן פסיכומטרי אינו אומר שקיבלתם 75 מתוך 100 — הוא אומר שאתם גבוהים מ-75% מקבוצת ההשוואה. אחוז מודד חלק מתוך שלם; אחוזון מודד מיקום בתוך קבוצה. אפשר לקבל 40 נקודות במבחן קשה ולהיות באחוזון 90.
שאלות נוספות